TEORIA CINETICA DEI GAS

Quando parliamo di gas la prima relazione che ci viene in mente è la formula dell’equazione di stato dei gas perfetti

PV=nRT

Questa equazione manipola le variabili macroscopiche di un gas assumendo che il suo comportamento sia perfetto, cioè le molecole che formano il gas sono puntiformi, non hanno volume e le interazioni a lunga distanza sono nulle.

Una formulazione simile possiamo trovarla studiando il comportamento microscopico delle molecole che formano il gas, introducendo la TEORIA CINETICA DEL GAS, per usare questa teoria è necessario dettare delle condizioni fondamentali, che permettono di semplificare il nostro sistema reale

-il numero di molecole contenute in un contenitore è grande e il volume delle molecole è trascurabile rispetto a quelle del contenitore

-il movimento delle molecole del gas è definito isotropico

-ogni molecola può urtare le pareti del contenitore

-questi urti avvengono mediante urti elastici

Assunte queste condizioni, immaginiamo una molecola che si muore di velocità v_x in una direzione x  e urta contro una parete del contenitore, essendo che il volume del contenitore è molto maggiore rispetto a quello della molecola e detto che gli urti sono di tipo elastico quello che avviene è una conservazione della quantità di moto, la quantita di moto finale della particella è uguale in modulo ma di verso opposto rispetto a quella iniziale.

Calcoliamoti il delta della quantità di moto (m*v)

Differenza della quantità di moto= quantità di moto finale – quantità di moto iniziale

 Delta P= Pf – Pi = -mv_x –mv_x = -2mv_x

Studiando la definizione della teoria dell’imposo ( I= F*t) sappiamo che l’impolso corrisponde alla variazione della quantità di moto quindi

I= delta P

F*t= -2mv_x

F= (-2mv_x)/t                         t= 2d/v_x

F= -2mv_x*v_x/2d                  semplifichiamo l’equazione

F= -mv_x²/d

A questo punto dovremmo considerare  che stiamo calcolando solamente la forza esercitata da una singola molecola, mentre noi vogliamo calcolare la forza totale che si trova mediante una sommatoria

F= m/d* sommatoria di v_x²                      ma la sommatoria di tutte le v_x= N*v_x

F=m/d*N*v_x²

Una delle assunzioni che abbiamo fatto per fare questo modello è che la velocità delle molecole si muove isotropicamente, vuol dire che ogni componente della velocità è uguale l’una all’altra

Quindi possiamo scrivere che se V= Vx+Vy+Vz  allora è come dire che V=Vx+Vx+Vx quindi V=3Vx à  Vx=1/3V

F= m/d*N*1/3v²

F= 1/3*N/d*mv²

La forza è anche ugule anche al prodotto della pressione per l’area

P*A=1/3*N/d*mv²

P=1/3*N/d*1/A*mv²

P=1/3*N/V*mv²

Queste equazione possiamo scriverla poi come

P=2/3*N/V*1/2mv²

Mediante questa manipolazione della quantità di modo e lo studio dell’impulso abbiamo ricavato la pressione mediante lo studio microscopico di un gas, se ora vogliamo studiare la temperatura il processo è molto simile consideriamo dalla formula prima:

PV= 2/3*N*1/2mv²

Grazie allo studio di un gas perfetto mediante le variabili di stato sappiamo che

PV=NKbT

NKbT=2/3*N*1/2mv²

3/2KbT=1/2mv²

Notiamo che l’energia cinetica è proporzionale alla costante Kb a 3/2 e alla temperatura, quindi l’energia cinetica è funzione di T, ma la somma di tutte le energie cinetiche del nostro gas di movimento isotropico corrisponde alla all’energia interna del sistema quindi

E_int=(1/2mv²)*N=3/2KbT

E_int= 3/2*N*kb*T                                                           Kb=R/Na

Sostituendo alla costante di boltzmann il vaole R/Na nella formula e sapendo che N/Na= numero di moli otteniamo la formula finale

E_int=3/2nRT

Quindi vediamo che l’energia interna è funzione della temperatura, cosa che è utile conoscere per la compressione dei principi della termodinamica.